「確率過程」の分かりやすい解説

この記事では「確率過程」について解説します。
内容に間違い等あれば、記事下部のコメントフォームからコメントで教えて頂けると幸いです。

確率過程とは

確率過程とは複数の確率変数の列のことです。

$ X_0, X_1, X_2, \cdots $をそれぞれ確率変数としたとき、次の確率変数の列が確率過程です。

$$
X_0, X_1, X_2, \cdots
$$

※$ X $の添字が実数になる連続時間確率過程というものもありますが、話がややこしくなるので、ここでは取り上げません。

$ X $の添字は基本的に日付などの時間を表します。
$ X_0 $は0日目の株価、売上。$ X_1 $は1日目の株価、売上など。

添字が一般的に時間を表すと理解すると、時間経過の過程に沿って変化する確率過程の意味も何となく分かると思います。

確率過程は確率変数の列なのですが、以下のような表記をされることがあります。

$$
(X_t)_{t \geq 0}
$$

こう書かれていたら、確率変数の列と理解しましょう。

これまで、複数の確率変数を扱ったことがあると思います。例えば、母集団から取り出した複数の標本を表す$ X_i $など。

これと確率過程の違いは、確率過程の場合、複数の確率変数が独立ではないことです。
※これまでの複数の確率変数は、独立を仮定していたと思います。

例えば$ X_{10} $を観測を始めてから10日目の株価だとした場合、基本的に$ X_{11} $は$ X_{10} $に似通った値だと想像が付きます。つまり独立ではない。