【統計検定2級・準1級】カイ二乗分布・t分布・F分布の定義と性質

$$
\newcommand{\bs}{\boldsymbol}
\newcommand{\der}{\partial}
\newcommand{\defeq}{\overset{\text{def}}{=}}
$$

記事の内容に間違い等あればコメントで教えて頂けると幸いです。コメントは記事最下部の「コメントを書き込む」からできます。

カイ二乗分布の定義

標準正規分布$ N(0, 1) $に従うn個の独立な確率変数$ X_1, X_2, \cdots, X_n $に対して

$$
X = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2
$$

で定義される確率変数Xが従う分布を自由度nの$ \chi^2 $（カイ二乗）分布という。

XとYが独立な確率変数で、Xが標準正規分布$ N(0, 1) $に従い、Yが自由度nの$ \chi^2 $分布に従うとき

$$
T = \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}
$$

で定義される確率変数Tが従う分布を自由度nのt分布という。

XとYが独立な確率変数で、それぞれ自由度mの$ \chi^2 $分布と、自由度nの$ \chi^2 $分布に従うとき

$$
F = \frac{\frac{X}{m}}{\frac{Y}{n}}
$$

で定義される確率変数Fが従う分布を自由度(m, n)のF分布という。

$ X_1, X_2, \cdots, X_n $を平均$ \mu $、分散$ \sigma^2 $の正規母集団からの無作為標本とし、$ U^2 $を不偏分散とするとき

$$
Y = \frac{(n-1)U^2}{\sigma^2}
= \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2
$$

で定義される確率変数Yは自由度n-1の$ \chi^2 $分布に従う。

標本平均$ \bar{X} $と不偏分散$ U^2 $に対して次が成り立つ。

$$
T = \frac{\bar{X} – \mu}{\sqrt{\frac{U^2}{n}}}
$$

この確率変数Tは自由度n-1のt分布に従う。

自由度nのt分布は$ n \to \infty $のとき、正規分布に近づく。

この記事の内容は「スッキリわかる確率統計: ―定理のくわしい証明つき―」という本を参考にして書かれています。正規分布のモーメント母関数の導出など、「統計学入門（赤本）」には書かれていない内容も、この本には書いてあることが多々あるので個人的にオススメです。