【測度論】測度の簡単な性質

この記事は測度論の勉強記録です。
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※この記事は作成中です。上方連続性、下方連続性の証明はまだ着手していません。

参考にした or 勉強している本

「測度・確率・ルベーグ積分応用への最短コース」（原啓介）という本で勉強しています。

可測空間$ S, M $に対し、$M$上で定義された関数$\mu$が以下の性質を満たすとき、$\mu$を$S, M$上の測度という。

任意の$ A \in M $に対し、$ 0 \leq \mu(A) \leq \infty $。特に$ \mu(\emptyset) = 0 $

$ A_1, A_2, \cdots \in M $が非交差的ならば

$$
\mu \left( \bigsqcup_{n=1}^\infty A_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)
$$

性質2はσ-加法性という。

この$ S, M, \mu $の組$ (S, M, \mu) $を測度空間という。

上記の本の定理 1.3について解説します。
まずは、性質を列挙します。その後、1つずつ説明していきます。

測度空間$ (S, M, \mu) $について以下が成立。

$ A_1, \cdots, A_n \in M $が非交差的ならば

$$
\mu \left( \bigsqcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{i=1}^n \mu(A_i)
$$

$ A_1, A_2 \in M $について

$$
A_1 \subset A_2 \ ならば \ \mu(A_1) \leq \mu(A_2)
$$

$ A_1, A_2, \cdots \in M $について

$$
\mu \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \leq \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)
$$

$ A_1, A_2, \cdots \in M $が単調に増大、つまり$ A_1 \subset A_2 \subset \cdots $ならば

$$
\lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \mu \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right)
$$

$ A_1, A_2, \cdots \in M $が単調に減少、つまり$ A_1 \supset A_2 \supset \cdots $で、さらに$ \mu(A_1) \lt \infty $ならば

$$
\lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \mu \left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \right)
$$