Xが正規分布の時、Y=aX+bが正規分布になるモーメント母関数を使った証明

この記事は「統計学入門（赤本）」の確率分布の章の最後に書いてある「モーメント母関数による証明」の部分を詳しく解説したものです。

正規分布のモーメント母関数（積率母関数）の導出は下の記事で行った。

正規分布のモーメント母関数（積率母関数）の導出

正規分布のモーメント母関数（積率母関数）の導出を丁寧に解説しました。

mathnyumon.com

この記事で正規分布\( N(\mu, \sigma^2) \)に従う確率変数Xのモーメント母関数\( M_X(t) \)が次のようになることが分かった。

$$
M_X(t) = \exp(\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2})
$$

ここで新たに確率変数Y=aX+bを考えた時、Yが正規分布になることをモーメント母関数を用いて証明する。
以下、手書き。