標本分布まとめ（ザッと確認したい方向け）

標本$ X_1, X_2, \cdots, X_n $は母集団分布と同一の分布に従う独立な確率変数で、$ X_i \sim N(\mu, \sigma^2) $だとする。ここで、$ \mu, \sigma^2 $はそれぞれ母平均と母分散とする。

標本平均$ \bar{X} $は次のように定義される。

$$
\bar{X} = \frac{1}{n} \{X_1 + X_2 + \cdots + X_n\}
$$

不偏分散$ s^2 $は次のように定義される。

$$
s^2 = \frac{1}{n-1} \{ (X_1 – \bar{X})^2 + \cdots + (X_n – \bar{X})^2 \}
$$

母分散が既知のときの標本平均の標本分布

$$
\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})
$$

t統計量というものが次のように定義される。$s^2$は冒頭で定義した不偏分散。

$$
t = \frac{\bar{X} – \mu}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}
$$

このt統計量が自由度n-1のt分布t(n-1)に従う。

$$
t \sim t(n-1)
$$

$ \chi^2 $（カイ二乗）統計量というものが次のように定義される。$s^2$は冒頭で定義した不偏分散。

$$
\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}
$$

この$ \chi^2 $統計量が自由度n-1の$ \chi^2 $分布$ \chi^2 (n-1) $に従う。

$$
\chi^2 \sim \chi^2(n-1)
$$

$$
\bar{X}-\bar{Y} \sim N(\mu_1 – \mu_2, \frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n})
$$

まず次の合併した分散$s^2$を計算する。

$$
s^2 = \frac{(m-1)s_1^2 + (n-1)s_2^2}{m+n-2}
$$

2標本t統計量というものを次のように定義する。

$$
t = \frac{(\bar{X} – \bar{Y}) – (\mu_1 – \mu_2)}{s \sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}}
$$

この2標本t統計量が自由度m+n-2のt分布t(m+n-2)に従う。

$$
t \sim t(m+n-2)
$$