【統計検定2級・準1級】独立な確率変数の和のモーメント母関数

独立な確率変数\( X_1, X_2, \cdots, X_n \)の和\( Y=X_1+X_2+\cdots+X_n \)のモーメント母関数は下のようになる。

$$
M_Y(t) = M_{X_1}(t)M_{X_2}(t) \cdots M_{X_n}(t)
$$

ただし、\( M_Y(t) \)は確率変数\( Y \)のモーメント母関数。\( M_{X_i}(t) \)は確率変数\( X_i \)のモーメント母関数。

証明

以下、手書きで証明する。

参考にした本

「スッキリわかる確率統計: ―定理のくわしい証明つき―」という本を参考にしました。
この本は他の統計の本には書いてない証明なども書いてあるので、オススメです！